Programa XVII ENAMA

Control theory and Machine Learning share common objectives, as evident in Norbert Wiener’s definition of “Cybernetics” as “The science of control and communication in animals and machines.”

The synergy between these fields is reciprocal. Control theory tools enhance our comprehension of the efficacy of certain Machine Learning algorithms and offer insights for their enhancement. However, this often bounces intricate queries back.

The interplay between Control and Machine Learning opens up a new captivating scientific lanscaüpe tp be explored but this can be a labyrinthine task. And this is part of the overall ambitious program of developing Digital Twins technologies.

We will discuss some neural network architectures, whose success for Supervised Learning can be understood from a control perspective and explain how their dimension and complexity can be minimized. The attention mechanism of transformers will also be analyzed.

We will also present some challenging open problems.

O teorema clássico de Banach-Stone (1932) afirma que, se K e L são espaços topologicos com- pactos de Hausdorff, então K e L são homeomorfos se, e somente se, os espaços de funções contínuas C(K) e C(L) são isométricos. A versão algébrica deste teorema foi provada por Gelfand & Kolmogo- roff em 1939, quando eles mostram que K e L são homeomorfos se, e somente se, C(K) e C(L) são isomorfas como álgebras.

Nesta palestra, apresentaremos resultados desta natureza para álgebras de germes holomorfos em espaços de Banach. Tanto no caso do teorema clássico, bem como no contexto em questão, tais resultados estão relacionados com o estudo do espectro de tais álgebras, no sentido de que uma boa descrição do espectro pode ajudar a obter resultados do tipo Banach-Stone. No âmbito da nossa pesquisa, ambientes favoráveis a uma boa descrição do espectro são espaços de Banach com algum tipo de propriedade de aproximação, e conjuntos compactos com alguma propriedade geométrica.

Como exemplo, um dos resultados que serão apresentados afirma que se E e F são espaços de Banach separáveis com propriedade de aproximação, e K e L são subconjuntos compactos de E e F , respectivamente, de tal forma que K e L são polinomialmente convexos, equilibrados e determinantes, então as álgebras de germes holomorfos H(K) e H(L) são topologicamente isomorfas se, e somente se, K e L são biholomorficamente equivalentes, Isto é, existe uma bijeção holomorfa φ : K → L tal que sua inversa também é uma aplicação holomorfa.